Imagine que um banco pague juros de 100% ao ano. Eu não falei que era uma situação hipotética? Mesmo assim, vamos fazer de conta que existe um banco com essa maravilhosa generosidade.
Após um ano, teríamos o montante de R$ 2,00 para cada R$ 1,00 aplicado.
E se, com uma generosidade inexplicável, os juros fossem creditados semestralmente, ao final de um ano teríamos R$ 2,25. Um sonho!
A expressão para esse cálculo é a seguinte:
(1 + 1/n)n = (1 + 1/2)2 = 2,25
Para o crédito ser trimestral, temos n = 4 e o resultado é 2,44141.
Vejamos alguns resultados para diversos valores de n na tabela abaixo.
n
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(1 + 1/n)n
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1
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2
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2
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2,25
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3
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2,37037
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4
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2,44141
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5
|
2,48832
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10
|
2,59374
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50
|
2,69159
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100
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2,70481
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1.000
|
2,71692
|
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10.000
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2,71815
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100.000
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2,71827
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1.000.000
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2,71828
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10.000.000
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2,71828
|
A “loucura total” seria calcular quanto seria o resultado para o crédito instantâneo, ou seja, com n tendendo ao infinito. Esse limite é um número irracional e transcendental chamado número e (número de Euler).
Um número é irracional quando não pode ser colocado na forma a/b com a e b inteiros. É transcendental quando não pode ser resultado de uma equação polinomial com coeficientes inteiros do tipo: axn + bxn-1 + ... + z = 0
Em termos matemáticos:
e = 2,71828182845904523536028747135266... E nunca termina.
Quem efetivamente calculou o número e foi Leonhard Euler, e dizem que a designação decorre da inicial de seu sobrenome, mas também existe a versão de que o e se deva à inicial de “exponencial”.
Esse número é a base dos logaritmos neperianos.
E se aquele banco generoso quisesse creditar juros instantâneos à sua aplicação de R$1,00, a 100% ao ano, você teria ao final de um ano o valor de:
R$ 2,71828182845904523536028747135266...
Ou, o que é mais provável, R$ 2,71, deixando aquela montanha de decimais ao banco. Afinal, esse banco merece!
Vamos, pois, ficar atentos à publicidade. Quem sabe não aparece um banco assim?
e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759451382178525166427...
Existem, entre outros, dois especialmente intrigantes: p e i.
p = 3,14159... Também transcendental.
i = Ö-1 porque i foi o símbolo adotado por Euler para a raiz quadrada de -1.
E olha só o que o Euler também conseguiu – uma correlação entre eles:
eiπ + 1= 0
Mas isso já é coisa para os efetivamente matemáticos...
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